[전자회로] 라자비 전자회로 Razavi Capacitor의 저항

Capacitor

 

 

Capacitor $Q\;=\;CV\;\leftrightarrow \;I=\;C\frac{dV}{dt}$

 

전압의 변화로 인해 전류는 축전기$capacitor$로 들어가고 나가게 된다. 캐패시터 사이의 급격한 전압 변화는 불가능하다.

 

$I=\;C\frac{dV}{dt}$ 위의 공식으로 인해 전압의 변화량에 따라서 전류가 바뀌는데 

 

 

$$low \; freqency \Rightarrow cap\; open \\ high \; frequency \Rightarrow cap\; short$$

 

전압의 변화가 거의 없는 low freq에서는 dv/dt의 값이 매우 작음으로 캐패시터가 존재하지 않고 열려있는 것으로 취급이 되고 high freq 에서는 dv/dt의 전압 변화값이 크기 때문에 전압의 변화가 곧바로 전류의 변화로 이어지기에 short 즉 축전기가 없이 직선도선으로 취급한다.

 

 

RC Circuit

RC circuit에 대해서 공식을 작성해 볼려고 한다. 

$$\frac{v(in)-v(out)}{R}\;= \;C\frac{dv}{dt}\\\\ \to \frac{V_{in}(s)-V_{out}(s)}{R}=CsV_{out}=\frac{V_{out}}{\frac{1}{Cs}} \\\\RC\frac{dv(out)}{dt}+v(out)=v(in)\\\\\to RsCV_{out}(s)+V_{out}(s)=V_{in}(s)\\\\\to V_{out}(s)=\frac{V_{in}(s)}{RsC+1}$$

 

캐패시터는 저항 R 값고 1/Cs로 표현할 수 있다

 

AC signal

 

$$v(t)=V_{0}coswt\;\;\;\leftrightarrow i(t)=I_{0}coswt\\\\i=c\frac{dv}{dt}\;\leftrightarrow \;i\;=\;wcV_{0}sinwt\;=\;wcV_{0}cos(wt+90^{\circ})$$

 

$$f(t)\;\leftrightarrow \;F(s)\\\\f(t-a)\;=e^{-as}F(s)$$

 

$$i_{c}\;=\;wCV_{0}cos(wt+90)\;\leftrightarrow \;wCe^{\frac{90}{w}}V_{c}(s)$$

 

$$I=sCV_{c}(s)\Leftrightarrow \;I\;=\;wCe^{\frac{90}{w}}V_{c}(s)$$

 

여기서 라플라스 변환을 하는 이유는 비선형적인 미분방정식을 선형적인 미분방정식 즉, 계산을 쉽게 하기위해서 또한 주파수 영역에서 이를 계산하기 위해서 변환 시켜주는 것이다.

s=jw로 정의된다. w로 정의한 이유는 주파수에 따른 임피던스에 대한 변화를 확인하기 위해서 인데, 1/sC = 1/jwC로 변화되어 임피던스를 확인 할 수 있다.

 

앞선 식에서 frequency의 크기가 증가하면 증가할 수록 임피던스의 크기는 감소함으로 

 

example)

$$V_{out}=gmR_{D}V_{in} \;\Rightarrow \;g_{m}(R_{D}\parallel \frac{1}{sC_{L}})V_{in}$$

 

Transform\;\;Function\;\;&Frequency\;\;Response

 

$$Y(s)\;=H(s)X(s)\;\Rightarrow \;H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

 

여기서 X$s$는 input\;impedance를 의미하고 Y$s$= output \; impedance를 의미한다.

 

$$H(s)=\frac{output(s)}{input(s)}\;=\;\frac{(1+\frac{1}{w_{z1}})(1+\frac{1}{w_{z2}})}{(1+\frac{1}{w_{p1}})(1+\frac{1}{w_{p2}})}$$

 

$w_{z}$에 대해서 zero 영점으로 얘기하게 되고 $w_{p}$에 대해서는 극점 이라고 칭할 수 있다 H$s$ 즉 transform\; function을 통해서 Frequency \;response에 대해서 크기와 phase에 대해서 얘기할 수 있기 되었다

 

Example)

위 그림에 대해서 transfer\; function에 대해서 구해보면

 

$$A_{v}\;=gm(R_{D}\parallel \frac{1}{sC})\;\leftrightarrow \; \frac{R_{D}*\frac{1}{sC}}{R_{D}+\frac{1}{sC}}$$

 

transform\; function으로 변환한다면

 

$\frac{gmR_{D}}{1+sC_{L}R_{D}}$ s=jw를 대입하게 되면

 

$$\frac{-gmR_{D}}{1+jwC_{L}R_{D}}\;\leftrightarrow \;\frac{\left|gmR_{D}\right|}{\sqrt{1+w^{2}C_{L}^{2}R_{D}^{2}}$$

w 즉 frequency가 증가하면 증가할수록 gain이 작아지게 된다.