Complex integration
$$lnZ=ln\left| Z \right|+iargZ\\\to lne^{z}=ln\left| e^{z} \right|+iarge^{z}=x+i(y+2n\pi )\\\Rightarrow \begin{bmatrix}
\left| e^{z} \right|=e^{x} \\arge^{z}=y+2n\pi
\end{bmatrix}$$
f(z)가 simple connected domain (path를 줄여서 점으로 만들 수 있는것) 즉, 구멍이 없는 domain에서 f(z)를 적분 할수 있는F(z)가 존재하고 이를 적분하게 되면 F(z1)-F(z2)즉 경로무관(path independant)한 양 끝값으로 주어진다.
example1)
$\int_{0}^{1+i}z^{2}dz=\frac{1}{3}(1+i)^{3}=\frac{2}{3}(i-1)$ 여기서 z의 3승은 anlytic이기 때문에 적분 후 양끝값을 대입해 주면 된다.
example2)
$$\int_{-i}^{i}\frac{dz}{z}=ln(i)-ln(-i)\\=iArgi-iArg(-i)\\=\frac{\pi }{2}i-i(-\frac{\pi }{2})=\pi i $$
dz/z의 경우는 원점에서 적분 불가능하기 때문에 원점을 피해야만 한다. 그 영역을 피한(branch cut) simply connected domain부분에 대해서 적분하면 값이 나온다.
Second evaluation method parametic representation of a path
If C can be represented by Z=z(t) (a<t<b) & f(z) is a continuous on C $\int_{c}^{}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(z(t))\dot{z(t)}dt\;\;(\dot{z}=\frac{dz}{dt})$
$$\oint_{c}^{}(z-z_{0})^{m}dz\;\;(m \in z)\\z(t)=z_{0}+\rho (cost+isint)\;\;(0\leq t\leq 2\pi )\\=z_{0}+\rho e^{it}\;\;(\dot{z}=i\rho e^{it})$$
$$(z-z_{0})^{m}=\rho ^{m}e^{imt}\\\oint_{c}^{}(z-z_{0})^{m}dz=\int_{0}^{2\pi }\rho ^{m}e^{imt}i\rho e^{it}dt\\\to i\rho ^{1+m}\int_{0}^{2\pi }e^{i(m+1)t}dt=I$$
$$1) m \neq -1\\ I=i\rho ^{m+1}\frac{1}{m+1}e^{i(m+1)t}(t=0,t=2\pi )=0\\2)m=-1\\I=i\rho ^{0}2\pi =2\pi i$$
$$\oint_{c}^{}(z-z_{0})^{m}dz=\begin{Bmatrix}
2\pi i & m=-1 \\
0 & other\;integers \\
\end{Bmatrix}$$
여기서 z0이 0일때는 아까 봤듯이 원점에서 entire function이 아니기 때문에 값이 다르다
example) Path dependance of non analytic function
$\int_{0}^{1+2i}Re(z)dz$ 이식에서 C1은 1+2i로 뻣은 직선을 의미하고 C2+C3에서 C2는 0부터 1까지의 x 그리고 C3는 1부터 1+2i까지의 y축의 합을 나타낸다.
$C_{1}:z(t)=(1+2i)t\;\;(0\leq t\leq 1)\;\;\dot{z}=1+2i
\int Re(z)dz=\int_{0}^{1}t(1+2i)dt = \frac{1}{2} +i$ 여기서 z값의 real 값인 t값이 나오게 된다
$$C_{2}:dz=dx,\;\;f(z)=x\\ \int_{C_{2}}^{} Re(z)dz=\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}\\C_{3}:dz=idy\;\;,Rez=1\\\int_{0}^{2}idy=2i$$
경로 C1의 적분값 1/2+i 과 1/2+2i의 값이 다르기 때문에 경로에 의존한다.
line integral 선적분
$$ \int_{C}^{}f(z)dz=\displaystyle \lim_{\Delta z \to 0}\sum (u+iv)(\Delta x+i\Delta y) \\ =\displaystyle \lim_{\Delta z \to 0}[\sum (u\Delta x-v\Delta y)+i(v\Delta x+u\Delta y)]\\ \int_{C}^{}f(z)=\int_{C}^{}udx-vdy+i\int_{C}^{}vdx+udy$$
$$x=x(t)\;\;y=y(t)\;\; a<t<b$$
Cauch's integral theorem
만약 f(z)가 simply connected domain D에서 analytic하다면 모든 colsed path C에서
$$\oint_{C}^{}f(z)dz=0$$
Proof)
$$\oint_{C}^{}f(z)dz=\oint_{c}^{}(u+vi)(dx+idy)=\oint_{c}^{}(udx-vdy)+i\oint_{c}^{}(udy+vdx)$$
여기서 Green's therem을 이용해서 폐곡선에서의 넓이 구하는 공식을 적용하게 되면 $\iint_{R}^{}(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y})dxdy=\oint_{c}^{}(F_{1}dx+F_{2}dy)$
$\iint_{R}^{}(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})dxdy =0$ 뒤에 것도 동일하게 0이 나온다.
$$f\;is\;analytic,\; Cauchy-Rimann\;equation\;\;\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ 를 활용
anlytic function 에서는 적분 대상의 분모가 0이 되는 부분이 아니면 0으로 수렴한다. 그럼 Nonanlytic function에서는 어떨까
$\oint_{C}^{}\bar{z}dz=\int_{0}^{2\pi }idt=2\pi i\;\;(z= e^{it},\;\;\bar{z}=e^{-it})$ nonzero가 나온다 하지만, 그렇다고 꼭 0이 안나오는 것은 아니다 0이 나올수도 있지만 안나올 경우도 존재한다고 생각하면 된다