성질
If f(z) is analytic in a simply connected domain D, the integral of f(z) independent of path in D
만약 f(z)가 도메인 D에서 단순 연결 되어져 있다면 경로의 무관하게 같은 적분같이 나온다.
Existence of indefinite integral If f(z) is analytic in a simply connected domain D, then there exists an indefinite integral F(z) such that F(z)'=f(z)
Cauchy's integral fomuala
If f(z) is analytic in a simply connected domain D, for any z0 and simple closed path C enclosing z0 counter clockwise
f가 단순연결 열린 영역 D에서 해석적이라 하고, C는 D 내에 있는 단순 폐곡선이라 하자, 만약 z0가 C내부에 있는 임의의 점이라면, 다음 식이 성립한다.
$${\color{Red} f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$
proof)
$$\oint_{C}^{}\frac{f(z_{0})+f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=f(z_{0})\oint_{C}^{}\frac{dz}{z-z_{0}}+\oint_{C}^{}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz$$
앞에 값은 m=-1인 값을 나타내므로 $2\pi if(z_{0})$값이 된다 뒤에 값은 0이 됨을 보이면 증명이 완성된다.
이를 증명하기 위해서 입실론 델타 기법을 이용할 것인데 위의 미분값을 임의의 입실론보다 더 작은 값으로 잡을 수 있다는 것을 통해서 이를 확인해보겠다.
${\color{DarkGreen} f(z)\;is\;continuous,\;so\;for\;any\;small\;\varepsilon (>0)\;one\;can\;find\;\delta (>0)\;\left| f(z)-f(z_{0})\right|< \varepsilon \;for\;all\;z\;in\;the\;disk\;\left| z-z_{0}\right|<\delta }$
proof) choosing the radias $\rho $of K smaller than $\delta $
\left| \frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\right|=\frac{\left|f(z)-f(z_{0}) \right|}{\rho }< \frac{\varepsilon }{\rho }\;on\;K
principle of path deformation C-> K
$$\left| I\right|=\left| \oint_{K}^{}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\right|=< \frac{\varepsilon }{\rho }\times 2\pi \rho =2\pi \varepsilon $$
여기서 아주 작은 입실론이라 생각한다면, 이 값은 0에 수렴한다.
Example) $\oint_{C}^{}\frac{e^{z}}{z-2}dz=2\pi ie^{2}$ C는 any contour enclosing 2
여기서 e^z은 복소평면상에서 entire function이기 때문에 적분 가능하다.