소제목
negative feedback 같은 경우는 만약 X의 값이 증가한다면, Y의 값 또한 증가하게 되고 Xf의 값이 증가하게 된다. 이런 증가한 값으로 인해 X-Xf의 값은 감소하게되고 보완되어 Y의 값이 일정한 값을 갖게 된다. stable
positive feedback 같은 경우는 X의 값이 증가하게 되면 Y의 값이 증가하고 Xf의 값이 증가해서 X-Xf의 값이 감소하는데 gain이 음수이기 때문에 오히려 증가해서 발산하게 된다. unstable
하지만 여기서 만약 frequency가 바뀌게 되면 negative feedback이 positive feedback으로 바뀔 수 도 있다.
Stability
loop gain을 통과해서 -180도의 위상 변화가 일어난다면 negative feedback이 positive feedback으로 변할 수 있다.
그래서 stability를 확인하게 위해서 Phase에 대해서 파악해보겠다.
$$H(jw)=H_{0}\frac{(1+\frac{jw}{z_{1}})}{(1+\frac{jw}{p_{1}})}\Rightarrow \measuredangle H(jw)=\angle H_{0}+tan^{-1}(\frac{w}{z_{1}})-tan^{-1}(\frac{w}{p_{1}})$$
이제 $tan^{-1}x$ 에 대해서 살펴보면 위의 그림처럼 나타나는데 이를 log scale에서 그리면 중간에 0도 부분에서 좀더 급격하게 증가하는 차이 정도만 존재한다. 이를 x=1기준으로
x<<1 1/10 기준으로 보면 0도에 가깝다고
x=1 45도
x>>1 x=10 정도 되면 90도에 가깝다고 생각할 수 있다.
$tan^{-1}(\frac{x}{k})$ 형태로 보통 나오기 때문에 우리는 $tan^{-1}(\frac{w}{z})$ 형태로 그래프를 그리게 되면
For zero의 형태에서 zero는 tan역함수 형태이고
w= 1/10z에서 증가하기 시작해서
w= z 에서 45도로 그래프의 변화가 시작이 되고
w=10z 에서 거의 90도로 변화한다.
For pole 에서의 위상 변화를 본다면 -tan역함수 형태이고
w=1/10p 에서 감소하기 시작하다가
w=p일때 -45도로 각도가 변화하기 시작하고
w=10p일때 -90도로 각도가 완전히 변화한다.
Example) phase reponse를 구하여라
DC gain H0 is positive 하다면 gain이 pole이 굉장히 작을때는 0도이기 때문에 0에서 출발한다.
wp1전까지는 감소하다가 1/10 pole 에서 감소하다가 10 pole에서 거의 90도로 된다. 1/10 zero에서 증가하기 시작해서 10 zero까지 증가한다 그후 wp2에서 1/10 pole에서 다시 감소하기 시작하는 형태를 나타낸다
만약 H0가 negative이면 180도에서 시작한다.
만약 분자에 "s" 가 존재한다면 $tan^{-1}(\frac{w}{0})$가 되고 무한대로 가기 때문에 90도에 수렴한다.
역으로 분모에 "s"가 존재한다면 -90도로 수렴하가 된다
여기 pole의 경우를 보게 되면 감소하는 그래프의 형태를 확인 할 수 있는데, pole이 2개여야 -180도에 도달하고 세개 이상이 되면 -270도가 된다 그래서 pole이 두개 일때까지는
Problem of Instability
만약 KH= -1이면 즉 $\left|KH(jw) \right|=1\;\;\angle KH(jw)=-180^{\circ}$ 이면 - x - 형태가 되서 +가 되서 진동(oscillates)가 되고 크기가 1보다 크면 발산하는 형태가 된다.
Stability Condition
(a)의 경우 KH가 1보다 큰 경우에서 -180도로 w가가 이동한다면 unstable하다 하지만 KH<1 작은 경우에 대해서는 -180도 로 가도 stable하다
Gain crossover frequency ($w_{GX}$)는 gain이 1인 지점을 의미한다.
Phase crossover frequency ($w_{PX}$)는 phase가 -180도를 지나는 지점을 의미한다.
안정하기 위한 조건은
$$w_{GX}<w_{PX}$$
Example)
feedfoward system에서 안정성을 파악하기 위해서는 $w_{GX}<w_{PX}$를 먼저 파악해야한다.
$$H(s)=\frac{(gmR_{D})^{3}}{(1+\frac{s}{w_{p}})^{3}}\;\;\;\angle H(jw)=-3tan^{-1}(\frac{w}{w_{p}})$$
1/RC구간에서 -60dB기울기만큼 감소하게 되고 그 지점에서 각도 -135도가 된다.
$$\angle H(jw)=-3tan^{-1}(\frac{w}{w_{p}})=180^{\circ}\;\;\Leftarrow w=\sqrt{3}w_{p}\\\left| H(jw)\right|=\frac{(g_{m}R_{D})^{3}}{\sqrt{1+\frac{w^{2}}{w_{p}^{2}}^{3}}}<1\\g_{m}R_{D}<2$$