Vector function
어떠한 curve 에 대한 방향벡터를 함수로 표현한 것이 vector function이다.
Cirular helix
$$r(t)=(2cost,2sint, t) \;\;\;(0\leq t\leq 2\pi )$$
"right-handed" cirular helix" 라고 부른다.
Tangent to a curve
tangent의 성분은 r(t)+kr'(t) 표현할 수 있는데 이는 점 r(t)에서 tangent 방향으로의 벡터 방향을 나타내는 것을 의미한다.
Example)
$$\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}=1\;\;at(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})\\\vec{r}(t)=(2cost,sint)\;\;t=\frac{\pi }{4}\\r'(t)=(-2sint,cost)=(-\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})\\ tanget\;\;\; (\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})+w(-\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})$$
Length of a Space Curve
$$r'(t)=\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{r(t+\Delta t)-r(t)}{\Delta t}\\\int_{a}^{b}\left| \vec{r}'\right|dt\;\;=\;\;\int_{a}^{b}\sqrt{\frac{dx}{dt}^{2}+\frac{dy}{dt}^{2}+\frac{dz}{dt}^{2}}dt$$
Motion on a Curve
$$\vec{r}(t)\\ \left\{\begin{matrix}
velocity\;=\;v(t)=r'(t) \\ acceleration\;=\;a(t)=v'(t)=r''(t)
\end{matrix}\right.$$
$$r=(Rcoswt,Rsinwt)\;\;\;\;[w=angular\;speed]\\v=Rw(-sinwt,coswt)\;\;\;r\bullet v=0\\a=-Rw^{2}(coswt,sinwt)=-Rw^{2}\vec{r}$$
v는 r의 미분이고 r과v를 내적하게 되면 0이라는 것을 알 수 있다. 이를 통해 벡터 r과 v는 수직이라는 것을 알 수 있다.
이 벡터 v를 한번더 미분하게 되면 가속도 a가 나오게 되고 가속도 a는 벡터 r의 반대방향으로 향하는 벡터이다.
$$f=ma=-mRw^{2}\vec{r}\;\;(centri\;petal\;force)$$
이를 힘과 연관시키게 되면 구심력이 나오게 된다.
Curvature (곡률)
$$k(s)=\left| u'(s)\right|=\left| r''(s)\right|\;\;\;\;u(s)=r'(t)$$
곡률은 휘어진 정도를 의미하는데 이러한 휘어진 정도는 u(s+ds)-u(s)미분 공식을 통해서 알아낼 수 있으며 위의 식처럼 답이 나오게 된다.