[공학수학] 9장

 

Vector function

 

 

 

어떠한 curve 에 대한 방향벡터를 함수로 표현한 것이 vector function이다.

 

 

Cirular helix

 

$$r(t)=(2cost,2sint, t) \;\;\;(0\leq t\leq 2\pi )$$

 

"right-handed" cirular helix" 라고 부른다. 

 

Tangent to a curve

 

 

tangent의 성분은  r$t$+kr'$t$ 표현할 수 있는데 이는 점 r$t$에서 tangent 방향으로의 벡터 방향을 나타내는 것을 의미한다. 

 

 

 

Example)

$$\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}=1\;\;at(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})\\\vec{r}(t)=(2cost,sint)\;\;t=\frac{\pi }{4}\\r'(t)=(-2sint,cost)=(-\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})\\ tanget\;\;\; (\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})+w(-\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})$$

 

Length of a Space Curve

 

 

 

$$r'(t)=\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{r(t+\Delta t)-r(t)}{\Delta t}\\\int_{a}^{b}\left| \vec{r}'\right|dt\;\;=\;\;\int_{a}^{b}\sqrt{\frac{dx}{dt}^{2}+\frac{dy}{dt}^{2}+\frac{dz}{dt}^{2}}dt$$

 

 

Motion on a Curve

$$\vec{r}(t)\\ \left\{\begin{matrix} velocity\;=\;v(t)=r'(t) \\ acceleration\;=\;a(t)=v'(t)=r''(t) \end{matrix}\right.$$

 

$$r=(Rcoswt,Rsinwt)\;\;\;\;[w=angular\;speed]\\v=Rw(-sinwt,coswt)\;\;\;r\bullet v=0\\a=-Rw^{2}(coswt,sinwt)=-Rw^{2}\vec{r}$$

 

v는 r의 미분이고 r과v를 내적하게 되면 0이라는 것을 알 수 있다. 이를 통해 벡터 r과 v는 수직이라는 것을 알 수 있다.

이 벡터 v를 한번더 미분하게 되면 가속도 a가 나오게 되고 가속도 a는 벡터 r의 반대방향으로 향하는 벡터이다.

 

$$f=ma=-mRw^{2}\vec{r}\;\;(centri\;petal\;force)$$

 

이를 힘과 연관시키게 되면 구심력이 나오게 된다.

 

Curvature $곡률$

 

$$k(s)=\left| u'(s)\right|=\left| r''(s)\right|\;\;\;\;u(s)=r'(t)$$

 

곡률은 휘어진 정도를 의미하는데 이러한 휘어진 정도는 u$s+ds$-u$s$미분 공식을 통해서 알아낼 수 있으며 위의 식처럼 답이 나오게 된다.