Line integral
경로 C[curve]에 대해서 A부터 B에 대해서 적분하는 것을 우리는 선적분이라고 하는데
$$\int_{c}^{}f(\vec{r})dt,\;\;\;\int_{c}^{}\vec{F}(\vec{r(t)})dt\\\int_{c}^{}f(\vec{r})d\vec{r}\;\;\;\int_{c}^{}\vec{F}(\vec{r}(t))\bullet d\vec{r}$$
첫번째는 스칼라 필드에서 경로 r을 시간에 따라 적분하는 것을 의미한다. 두번째는 벡터 필드를 적분하는 것을 의미한다.
세번째는 스칼라 필드에서 경로 dr을 따라 적분하는 것을 의미한다. 세번째는 벡터필드를 경로 벡터의 내적을 통해서 적분하는 것도 가능하다. 가장 많이 사용하는 것이 벡터필드를 경로의 내적을 적분 하는 것이다.
$$\int_{c}^{}\vec{F}(\vec{r}(t))\bullet d\vec{r}=\int_{c}^{}(F_{1}dx+F_{2}dy+F_{3}dz)\;\;or\\ \int_{c}^{}\vec{r}\frac{d\vec{r}}{dt}dt=\int_{c}^{}\vec{F}\vec{r}'(t)dt\\ If\;c\;is\;closed,\oint_{c}^{}$$
F 벡터를 경로 r벡터에 대해서 내적하는 것을 우리는 F1dx ....으로 전개해서 쓸 수도 있으며 혹은 r벡터를 t에대해서 미분하고 dt를 곱해줌으로써 정리 할 수도 있다.
Example
$$\vec{F}= (-y,xy)\;\;\vec{r}=(cost,sint)]\;\;0\leq t\leq \frac{\pi }{2}\\ I=\int_{c}^{}F\cdot r'(t)dt=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(sin^{2}t-cos^{2}tsint)dt\;=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{3}$$
Appliaction
- work by force
$$ dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}\\W=\int_{c}^{}\vec{F}\cdot d\vec{r}\\W=\int_{c}^{}F\cdot r'dt=m\int_{c}^{}v'vdt=\frac{m}{2}\int_{c}^{}\frac{d}{dt}(v\times v)dt=\frac{1}{2}m(V^{2}(B)-V^{2}(A))
\\ =\Delta E_{kinetic}$$
한 일에 대해서 적분을 진행하면 1/2mv^2 형태가 나오는데 이것은 물체에 대한 운동에너지이다. 그래서 전체 운동에너지는 마지막 지점에서 처음 지점은 운도에너지를 뺀 값이다.
Path independence of line integrals
- $\vec{F}=\triangledown f$ (conservative)
- $\oint_{c}^{}\vec{F}d\vec{r}=0$ (if D is simply connected)
- $\vec{\triangledown }\times \vec{F}=0$
1) $\int_{c}^{}\vec{F}d\vec{r}=\int_{c}^{}\triangledown fd\vec{r}\;\;(df=\triangledown fd\vec{r})\\=f(B)-f(A)$
$$W=\int \vec{F}d\vec{r}=\int (-\triangledown \phi )dr=\phi (A)-\phi (B)=E_{kin}(B)-E_{kin}(A)\\E_{kin}+\phi (B)=E_{kin}(A)+\phi (A)$$
일에 대한 정의를 사용해서 이를 활용해보면 힘이 보존력이 된다면, 시작점의 위치에너지와 끝점의 위치에너지의 차이가 되고 W를 앞서 끝점에서의 위치에너지 - 시작점에서의 위치에너지가 된다.
최종적으로 운동에너지와 위치에너지의 합은 역학적 에너지로 정의되어진다. 이 equation을 통해서 역학적 에너지가 보존된다는 것을 의미한다.
$$V(B)-V(A)=-\int_{c}^{}\vec{E}d\vec{r}$$
전기장에서는 E(힘) V(일)이라고 생각하면 위 공식이 적용이 된다