Double integrals
$$I=\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,y)dydx\\ I=\int_{c}^{d}\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}$$
Volum은 $V=\int \int_{R}^{}f(x,y)dA$
when f[x,y]=1 이라면 $A=\int \int_{R}^{}dA$ 라고 할 수 있다.
Center of gravity
$$\bar{x}=\frac{1}{M}\int \int_{R}^{}xf(x,y)dA\;\;\;\;\bar{y}=\frac{1}{M}\int \int_{R}^{}yf(x,y)dA$$
xf[x,y]의 영역 R로의 적분을 하고 M으로 나눈 값을 우리는 입체 도형의 x 중심이라고 할 수 있으며
yf[x,y]의 영역 R로의 적분을 하고 M으로 나눈 값을 우리는 입체 도형의 y 중심이라고 할 수 있다.
Moment of inertia (관성 모멘트)
물체가 회전운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 상태를 의미한다.
$$I_{x}=\int \int_{R}^{}y^{2}f(x,y)dA\;\;\;\;I_{y}=\int \int_{R}^{}x^{2}f(x,y)dA$$
물체 I가 x축으로의 관성 모멘트는 y만큼 떨어져 있고 그것의 회전을 의미하니 y^2을 곱해주면 되고 y축도 이와 동일하다
Polar moment of inertia(극 관성 모멘트)
극 관성 모멘트는 비틂의 저항하는 성질을 의미하는데, z축으로의 회전을 했을때를 나타낸다.
$$I_{0}=\int \int_{R}^{}(x^{2}+y^{2})f(x,y)dA=I_{x}+I_{y}$$
$$density\;=\;f(x,y)=\lambda y\;\;Area:\int \int_{R}^{} dA=\int_{0}^{1}\int_{x}^{x^{2}}dydx=\frac{1}{6}\\ M=\lambda \int \int_{R}^{}dA=\frac{\lambda }{15}$$
$$M\bar{x}=\lambda \int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}xydydx\Rightarrow \bar{x}=\frac{15}{24}$$
먼저 구간에 대한 넓이 Area에 대해서 구해보면, 1/6이 나온다 그리고 무게 M에 대해서 구하기 위해 density를 구간 R에 대해서 적분하게 되면 무게 나오게 된다. 이를 통해서 무게중심 x를 구하게 되면, 밀도와 x를 곱한 값을 구간 내에 적분을 취해주고 무게로 나누어주면 x축 중심의 좌표가 나오게 된다. 이와 동일하게 y도 하면 y의 중심이 나오게 된다.
Change of variables
$$1-d\;\; \int_{a}^{b}f(x)dx\;\;\xrightarrow[]{x=x(u)}\int_{\alpha }^{\beta }f(x(u))\frac{dx}{du}du$$
$$\int \int_{R}^{}f(x,y)dxdy\xrightarrow[y=y(u,v)]{x=x(u,v)}\int \int_{R*}^{}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right|dudv$$
$$J= \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\\
\end{vmatrix} \leftarrow Jacobian\;matrix\\=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$
이에 대한 간단한 증명은 u,v의 평면의 좌표에서 x,y로 평면의 좌표로 이동시킬때 미소 면적 du dv 에서 du는 u축 dv는 v축이다 즉 du는 u로만의 이동이 존재하는데 이를 x-y 축으로 이동하게 되면, $dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv$ 로 표시할 수 있는데 여기서 v축으로의 이동은 없으니 dx/dv는 0이된다. 이를 동일하게 y에 대해서 적용하고
두개의 벡터가 형성이 되는데, 이 두개의 벡터의 외적은 평행사변형의 넓이가 된다. 또한 야코비안의 절대값 dudv라는 값이 나온다.
Green's theorem
$$\int \int_{R}^{}(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y})dxdy=\oint_{c}^{}F\bullet dr=\oint_{c}^{}F_{1}dx+F_{2}dy$$