surface integrals

→r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
매개변수방정식 parametricrepresentation으로 이 surface를 표현 할 수 있다 구체적인 예를 들어보면

첫번째 예시는 원통이다. 이 원통위에 좌표를 우리는 좀 더 쉽게 표현 할 수 있는데, u와 v를 통해서 우리는 원통위의 좌표를 표현 할 수 있다.
x2+y2=a2−1≤z≤10≤u≤2π−1≤v≤1→r=(acosu,asinu,v)
이를 원통좌표계로도 표현이 가능한데 (ρ,ϕ,z) 로 표현이 가능하다 여기서 rho는 반지름의 길이 phi는 회전 반경 z는 높이를 의미한다.

이번에는 구의 좌표를 표시해볼것이다. 0≤u≤2π−π2≤v≤π2→r=(acosv⋅cosu,acosv⋅sinu,asinv)
구의 좌표를 매개변수르 이용하여 더 간단하게 표현 할 수 있는데 u를 우리는 경도 즉 longitude v를 위도 즉 latitude라고 할 수 있다. 여기서 a는 구의 반지름을 의미한다.
spherical cordinate 구면좌표계
(r,ϕ,θ)0≤ϕ≤2π,0≤θ≤π 라고 기술할 수 도 있다.
Tangent Plane and Surface Normal

→N=→ru×→rv:normalvector
우리는 접선벡터에서 미분을 통해서 접선을 구할 수 있었다 그럼 접평면의 경우는 어떻게 구할 수 있을까? 한점 P에서 다른 두 방향의 외적을 통해서 접평면을 구 할 수 있다. 단위법선 벡터로 변경하기 위해서는
=→ru×→rv|→ru×→rv|
If S: gx,y,z=0 일때 ▽g∝→N
스칼라 필드에서 법선벡터를 구하기 위해서는 gradient를 취해주면 된다

du\;\Rightarrow\; \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}du \\ dv\;\Rightarrow \;\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}dv \\ \vec{r}_{u}du\times \vec{r}_{v}dv=\vec{N}dudv\\{\color{Blue} \vec{dA}=\hat{n}dA}
du의 변화가 있으면 r벡터에 u방향으로의 변화가 생기고 dv의 변화가 생기면 r벡터의 v방향으로의 변화가 생긴다.
이를 외적하게 되면 dA에 대한 벡터를 형성할 수 있다.
Flux integral
∫∫S→F⋅d→A(ifSisclsed)=∫∫R→F(→r(u,v))⋅(→ru×→rv)dudv(Rdomiaintheuvplane)∫∫R(F1dA1+F2dA2+F3dA3)=∫∫S(F1dydz+F2dzdx+F3dxdy)

벡터 F에 대해서 곡면 S에 대한 유량을 구하기 위해서는 대표적으로 두가지 방식이 존재한다 하나는 매개변수로 변환하여 벡터 F에 대해서 법선벡터 n 의 내적을 통해서 유량을 구하는 방법이다. 법선벡터 n은 r을 u와v로 각각 미분한 것을 외적하게 되면 N벡터가 형성이 된다. F와N의 내적을 한 후 u와 v의 범위에 대해서 적분을 취해주면 값이 나온다
1)
S:y=x20≤x≤2,0≤z≤3→F=(3z2,6,6xz)→r=(u,u2,v)(0≤u≤2,0≤v≤3)→N=→ru×→rv=(2u,−1,0)→F=(3v2,6,6uv)F∙N=6uv2−6∫∫SF∙dA=∫30∫20(6uv2−6)dudv=72
두번째 방법은 스칼라 f를 통해서 gradient를 취해주면 법선이 나오게 된다 그 법선을 단위법선벡터로 만들어 주고 이를 벡터 F와 내적해야한다 다만 여기서 dA 미소면적에 대해서 구해줘야하기 때문에
2)
$$fx,y,z=x^{2}-y=0\to S\\ \vec{n}=2x,−1,0\rightarrow \frac{2x,−1,0}{\sqrt{1+4x^{2}}}\\ \vec{F}\cdot \hat{n}=\frac{6x2−6}{\sqrt{1+4x^{2}}$$
∫30∫20(6x2−6)√1+4x2√1+4x2dxdz
F벡터와 n벡터의 내적과 dA를 곱한것이다. dA의면적은 √x2+y2=√1+4x2dxdz이다.
