Divergence
$$\int \int \int_{T}^{}\bigtriangledown \cdot Fdv=\int \int_{S}^{}F\cdot dA $$
proof)
$$\int \int \int_{T}^{}(\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z})dV=\int \int_{S}^{}F_{1}dydz+F_{2}dzdx+F_{3}dxdy$$
Imvariance of F
div F는 좌표계와 무관하다는 것을 보이기 위해서
$$\triangledown \cdot F(p)V(T)=\int \int_{S}^{}F\cdot dA\\\triangledown \cdot F(p)=\displaystyle \lim_{ d(T)\to 0}\frac{1}{V(T)}\int \int_{S}^{}F\cdot dA$$
여기서 flux integral은 좌표계와 무관하게 값이 나오기 떄문에 우변의 값은 좌표계와 무관한 값이 나온다 즉 coordinate invariant 하다는 것을 의미한다.
Archimedes' principle
$$\int \int \int \triangledown \cdot FdV=\int \int F\cdot dA\\\vec{F}=f\vec{a}\;(arbitrary\;constant\;vector)\\ \triangledown \cdot F=f\triangledown \vec{a}+\vec{a}\cdot \triangledown f\\a\cdot \int \int \int \triangledown fdV=a\cdot \int \int fdA\\\to \int \int \int \triangledown fdV$$
벡터 F 대신에 스칼라 f와 임의의 a벡터의 내적으로 표현할 수 있다. 여기서 임의의 벡터 a의 경우에는 상수이기 때문에 gradient를 취해주면 0이 되고 이를 대입하게 되면 스칼라의 gradinet의 삼주적분은 스칼라의 유량과 동일하다는 식이 나온다. 이를 활용하여 부력에 대해서 구해보면
Boyancy force
$$-\int \int_{S}^{}pd\vec{A}\\ =-\int \int \int_{T}^{}\triangledown pdV
\\ \triangledown p=\rho (x,y,z)\vec{g}$$
이를 부력에 적용해서 구해보게 되면, 압력에 gradient는 rho 즉 fliud density에 중력을 곱한것과 동일하기 때문에 이를 위 공식에 대입해주면
$$-\int \int \int \rho \vec{g}dV\\-\vec{g}\int \int \int \rho dV
\\ -M\vec{g} $$
밀도의 삼중적분은 질량기기때문에 부력은 중력의 반대방향 곱하기 무게로 나오게 된다.
