복소함수(Funcions \;of \;a\; Complex\; Variable)
$$z = x + y\imath \; = r(cos\Theta + \imath sin\Theta )\; = re^{\imath \Theta }$$
복소함수 함수란(function) A에 있는 원소 a에 B에 있는 원소 b를 대응시키는 규칙을 의미한다. 여기서 복소함수는 정의역 A가 복소수 z의 집합일때, f를 복소변수 z의 함수 즉, 복소함수 (complex function) 이라고 일컫는다.
$$w = f(z)= u(x,y) + iv(x,y)$$
복소수의 상을 w라고 하고 w의 실수부분과 허수부분을 u와v라고 하면 위와 같은 식을 얻을 수 있다.
example
$f(z)= z^{2}$ 에 대해, 직선 Re (z) = 1의 상을 구하여라
$f(z)= z^{2}$ 이므로 $u(x,y)= x^{2} - y^{2} \; v(x,y) = 2xy$이다. 따라서 Re(z) = x =1 을 대입하게 되면 $u=1-y^{2}$와 v=2y가 성립함으로 y의 식을 u에 대입하게 되면 $u=1-v^{2}/4$가 나오게 되고 이를 w평면에 u와 v로 표현하게 되면 아래 같이 나오게 된다.
도함수(Derivative)
복소함수 f가 $z_{0} 근방에서 정의되어 있다고 하자. 그러면 $z_{0}$ 에서 f의 도함수(derivative)sms
$f'(z_{0}) =\lim_{ \bigtriangleup z_{0}\to 0} = \displaystyle \lim_{z_{0} \to 0}\frac{f(z_{0}+\bigtriangleup z)-f(z_{0})}{\bigtriangleup z}$ 로 정의된다.
example
$f(z) = \bar{z}$
$$f'(z) =\lim_{ \bigtriangleup z\to 0} = \displaystyle \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(\bar{z}+\Delta \bar{z})-f(\Delta z)}{\Delta z}$$
im
코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann \;\;Equations)
정의) 해석성 : 복소함수 w=f (z)가 z0에서 미분 가능할 뿐만 아니라, z0의 어떤 근방이 존재하여 그 안의 모든 점에서 미분 가능하면, 함수 f는 z0에서 해석적(analytic)이라 한다. 미분가능성보다도 더 엄격한 조건이 해석성이다.
해석적이기 위한 필요조건 (A Necessary Conditon for Analyticity)
$$f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \leftrightarrow u_{x}=v_{x} \; and \; u_{y}= -v_{x}$$
proof)
조화함수 (Harmonic \;Conjugate \;Funcion)
실함수 $\phi(x,y)$ 가 열린 영역 D에서 2차 편도함수를 갖고 Laplace 방정식을 만족하면, 함수 \phi(x,y)를 D에서 조화함수 (harmonic function)이라 한다.
용어) Laplace 방정식 만족은 $\Delta^{2} \phi = 0$ 를 의미한다.
$$\triangledown ^{2}u=u_{xx}+u_{yy} = 0 \\ \triangledown ^{2}v=v_{xx}+v_{yy} = 0$$
증명) 앞선 코시 -리만 방정식을 통해서 이를 증명해보고자 한다 u에 대해서 x에대해서 편미분과 y에 대한 편미분을 각각 풀게되면 아래와 같은 공식이 나오게 된다
$$u_{x}= v_{y}\to u_{xx}=v_{yx}\\u_{y}=-v_{x}\to u_{yy}=-v_{xy}$$
여기서 미분 순서 변경을 해주고 대입을 하게 된다면 아래와 같은 조화함수를 증명하게 된다.
$$v_{yx} = v_{xy} \to u_{xx} = -u_{yy}\to u_{xx}+u_{yy} = 0$$
v에 대한 조화함수는 첫번째 리만 방정식에 대해서 y에 대해서 미분 두번째 방정식에 대해서 x에 대한 미분을 한 후 u에 대해서 대입을 해주면 증명이 된다.
지수함수와 로그함수 ()
$$(e^z){'}=u_{x}+iv_{x}=e^{x}cosy+ie^{x}siny\\(e^z){'}=\frac{1}{i}(u_{y}+iv_{y})=e^{x}cosy+ie^{x}siny$$
$$e^{2\pi i}=cos2\pi +sin2\pi =1 \\ e^{z+2\pi i}=e^{z}$$
$$e^{z}-2 \; z=?\\ \left| e^{x} \right| = 2\to x=ln(2) \\ arg(e^{z})=\pi =y+2n\pi \\ \to y=\(2n-1)\pi \\ z=ln(2)+(2n-1)\pi $$
Logitum
$$w=ln(z) \leftrightarrow e^{w} = z =re^{i\Theta } \; (w=u+iv)\\ e^{u}=r \;\;\leftrightarrow \;\; u=ln(r)\;\;\; v=\Theta \\ w=ln(r)+i\Theta $$