[전자회로] 12장 라자비 Feedback system & gain error

 

Feedback system을 배우는 이유는 냉장고를 예로 들면 3도를 맞추기를 희망해서 X 입력값에 온도 낮추게 한다면, 계속 낮아질 것이다 만약 3도 이하로 내려가게 된다면 이를 Feedback해줘서 유지해야하는데 이때 필요한게 Feedback  system이다

 

X-XF=Error라고 할 수 있고 K=XF/Y를 feedback factor라고 한다.  

 

$$Y=A_{1}(X-X_{F})\;\;\to \;\;Y=A_{1}(X-KY)\;\;\to \;\;(1+A_{1}K)Y=A_{1}X\\\frac{Y}{X}=\frac{A_{1}}{1+KA_{1}}$$

라고 정리 할 수 있는데 K가 0이 아닌 closed-loop 에서 Y/X를 통해 gain을 구하게 되면 A1에 1+KA1만큼 감소하게 된다.

 

Example

 

$$\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}Y\;\;\to \;\;X_{F}\;\;\;K= \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\\\frac{Y}{X}=\frac{A_{1}}{1+kA_{1}}\\\frac{Y}{X}=\frac{A_{1}}{1+\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}A_{1}}$$

 

Relation between Error and X

 

$E= X-X_{F}\to X_{F}=A_{1}E\times K$ Error를 X에 대한 방정식을 세우기 위해서 위와 같이 방정식을 세웠다. Error는 X-XF이기 때문에 이를 gain에 넣고 식을 대입하면 된다.  최종적으로 $E=\frac{X}{1+KA_{1}}$ 라는 식이 나오게 된다.

 

이식을 통해서 loop gain  이 만약 엄청나게 크다면 KA1또한 커지기 때문에 Error값은 0에 수렴하게 된다. 또한 XF가 X를 잘 카피하는 signal이라고도 할 수 있다.

 

여기서 만약 KA1이 엄청나게 크다면 어떻게 나올까?

 

$$\frac{Y}{X}=\frac{A_{1}}{1+KA_{1}}=\frac{1}{K}\to 1+\frac{R_{1}}{R_{2}}\\(K=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}})$$

 

만약 gain이 크다면 gain과 상관없이 1+R1/R2 값이 나오게 된다. 이렇게 되면 1/K 즉 loop gain이 굉장히 중요한 parameter가 된다. 

 

Loop gain

 

 

앞서 봤듯이 Loop gain은 Feedback system 에서 중요한 parmeter로 작용한다는 것을 알 수 있었다.  일반적인 system에서 loopgain을 구하는 방법에 대해서 살펴보면

1. 먼저 loop를 끊은 후 2. input X를 ground처리한다. 3. test input을 연결해주고 4. output을 측정한다.

 

$V_{N}=KV_{test}\times A_{1}\;\;\to\;\;\frac{V_{N}}{V_{test}} = -KA_{1}$

 

Feedback을 쓰는 이유

$$\frac{Y}{X}= \frac{A_{1}}{1+KA_{1}}$$

$$\frac{X_{F}}{Y}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$

$$\frac{Y}{X}= \frac{A_{1}}{1+\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}A_{1}}\;\;(A_{1}\gg 1)\\=1+\frac{R_{1}}{R_{2}}$$

$\frac{Y}{X}= 4\;\;\;\;\frac{R_{1}}{R_{2}}=3$

$$\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\;\;= \;\;\frac{1}{4}\to \frac{Y}{X}= \frac{A_{1}}{1+\frac{1}{4}A_{1}}\\ A_{1}=1000 \;\; \frac{Y}{X}=3.984\;\;A_{1}=500\;\;\frac{Y}{X}=3.968$$

 

A1의 값이 1000과 A1의 값이 500에서 gain의 값의 차이가 거의 없다 즉, feedback system을 통해서 일관된 gain을 얻을 수 있다. 

 

System become less sensitive 

 

gain의 값은 많이 줄지만 그 값에 대한 안정성 및 bandwith의 증가 덕분에 일관된 gain을 얻을 수 있기떄문에 이점이 크다. 

pole을 통해서 bandwith구간이 얼마나 extention 됬는지를 확인해 보자면

 

$$A_{1}(s)=\frac{A_{0}}{1+\frac{s}{w_{0}}}$$

 

$$\frac{Y}{X}=\frac{\frac{A_{0}}{1+\frac{s}{w_{0}}}}{1+K\frac{A_{0}}{1+\frac{s}{w_{0}}}}\;\;\to \;\; \frac{A_{0}}{1+w_{0}+KA_{0}}\;\;\to \;\; \frac{\frac{A_{0}}{1+KA_{0}}}{1+\frac{w_{0}}{1+KA_{0}}}\\ Bandwith\;=\; (1+KA_{0})w_{0}$$

 

 

(unity-gain bandwith란 gain이 1인 주파수 0dB일 때의 주파수를 의미)

 

$$\frac{Y}{X}(w) = \frac{\frac{A_{0}}{1+KA_{0}}}{1+\frac{jw}{(1+KA_{0})w_{0}}}\\\left| \frac{\frac{A_{0}}{1+KA_{0}}}{\sqrt{1+\frac{w^{2}}{(1+KA_{0})w_{0}^{2}}}}\right|=1$$

 

$$(\frac{A_{0}}{1+KA_{0}})^{2}=1+\frac{w_{h}^{2}}{(1+KA_{0})w_{0}^{2}}\\A_{0}^{2}w_{0}^{2}-(1+KA_{0})w_{0}^{2}=w_{h}^{2}\\ =w_{0}^{2}A_{0}^{2}(1-K^{2})\\=w_{h}=w_{0}A_{0}$$

 

wh에 대해서 풀면된다 1+KA가 >>1크기 때문에 1을 생략한 KA값만 나오게 되고 K의2승이 <<1작기 때문에 지워질 수 있다. 

 

 

최종적인 그림은 위와 같다 원래 pole 보다는 A0배 만큼 더 먼 곳에서 pole이 생기고 bandwith또한 길어졌다. 다만 gain은 줄어들었다